Cho hình chữ nhật \(ABCD\). Giải thích tại sao \(ABCD\) là hình vuông trong mỗi trường hợp sau:
Trường hợp 1: \(AB = BC\)
Trường hợp 2: \(AC\) vuông góc với \(BD\)
Trường hợp 3: \(AC\) là đường phân giác của góc \(BAD\)
\(ABCD\) là hình chữ nhật (gt)
Suy ra \(AB = CD\); \(AD = BC\); \(AB\) // \(CD\); \(AD\) // \(BC\) (3)
\(\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = 90^\circ \) (1)
TH1:
Nếu \(AB = BC\) (gt) thì \(AB = BC = CD = DA\) (2)
Từ (1), (2) suy ra \(ABCD\) là hình vuông
TH2:
Nếu \(AC\) vuông góc với \(BD\)
Mà \(ABCD\) cũng là hình bình hành
Suy ra \(ABCD\) là hình thoi
Suy ra \(AB = BC = CD = DA\) (4)
Từ (1) và (4) suy ra \(ABCD\) là hình vuông
TH3:
\(AC\) là phân giác của góc \(BAD\)
Mà \(ABCD\) là hình bình hành
Suy ra \(ABCD\) là hình thoi
Suy ra \(AB = BC = CD = DA\) (5)
Từ (1) và (5) suy ra \(ABCD\) là hình vuông
Cho tứ giác \(ABCD\) có \(P\) là giao điểm của hai đường chéo. Giải thích tại sao \(AB\) // \(CD\) và \(AD\) // \(BC\) trong mỗi trường hợp sau:
Trường hợp 1: \(AB = CD\) và \(AD = BC\) (Hình 7a)
Trường hợp 2: \(AB\) // \(CD\) và \(AB = CD\) (Hình 7b)
Trường hợp 3: \(AD\) // \(BC\) và \(AD = BC\) (Hình 7c)
Trường hợp 4: \(\widehat {\rm{A}} = \widehat {\rm{C}}\), \(\widehat {\rm{B}} = \widehat {\rm{D}}\) (Hình 7d)
Trường hợp 5: \(PA = PC\), \(PB = PD\) (Hình 7e)
a) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta CDA\) ta có:
\(AB = CD\) (gt)
\(AD = BC\) (gt)
\(AC\) chung
Suy ra: \(\Delta ABC = \Delta CDA\) (c-c-c)
\( \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {ACD}\) (hai góc tương ứng)
Mà hai góc ở vị trí so le trong
Suy ra \(AB\) // \(CD\)
Chứng minh tương tự \(\Delta ADB = \Delta CBD\) (c-c-c)
\( \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {CDB}\) (hai góc tương ứng)
Mà hai góc ở vị trí so le trong
\( \Rightarrow AD\;{\rm{//}}\;BC\)
b) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta CDA\) ta có:
\(AB = CD\) (gt)
\(\widehat {{\rm{BAC}}} = \widehat {{\rm{ACD}}}\) (do \(AB\) // \(CD\))
\(AC\) chung
Suy ra: \(\Delta ABC = \Delta CDA\) (c-g-c)
\( \Rightarrow \widehat {BCA} = \widehat {CAD}\) (hai góc tương ứng)
Mà hai góc ở vị trí so le trong
Suy ra \(AD\;{\rm{//}}\;BC\)
c) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta CDA\) ta có:
\(BC = AD\) (gt)
\(\widehat {{\rm{BCA}}} = \widehat {{\rm{CDA}}}\) (do \(AD\) // \(BC\))
\(AC\) chung
Suy ra \(\Delta ABC = \Delta CDA\) (c-g-c)
Suy ra \(\widehat {{\rm{BAC}}} = \widehat {{\rm{ACD}}}\) (hai góc tương ứng)
Mà hai góc ở vị trí so le trong
Suy ra: \(AB\) // \(CD\)
d) Xét tứ giác \(ABCD\) ta có:
\(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \)
Mà \(\widehat A = \widehat C\); \(\widehat B = \widehat D\) (gt)
Suy ra \(\widehat A + \widehat D = 180^\circ ;\;\widehat A + \widehat B = 180^\circ \)
Mà hai góc ở vị trí trong cùng phía
Suy ra \(AB\;{\rm{//}}\;CD;\;AD\;{\rm{//}}\;BC\)
e) Xét \(\Delta APB\) và \(\Delta CPD\) ta có:
\(PA = PC\) (gt)
\(\widehat {{\rm{APB}}} = \widehat {{\rm{CPD}}}\) (đối đỉnh)
\(PB = PD\) (gt)
Suy ra: \(\Delta APB = \Delta CPD\) (c-g-c)
Suy ra: \(\widehat {BAP} = \widehat {PCD}\) (hai góc tương ứng)
Mà hai góc ở vị trí so le trong
Suy ra \(AB\;{\rm{//}}\;CD\)
Chứng minh tương tự: \(\Delta APD = \Delta CPB\) (c-g-c)
Suy ra \(\widehat {{\rm{DAP}}} = \widehat {{\rm{BCP}}}\) (hai góc tương ứng)
Mà hai góc ở vị trí so le trong
Suy ra \(AD\) // \(BC\)
Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD (ta gọi tứ giác ABCD trong trường hợp này là tứ giác có hình cánh diêu).
a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD.
b) Tính B ^ , D ^ b i ế t A ^ = 100 O , C ^ = 60 O
a) HS tự chứng minh
b) Sử dụng tổng bốn góc trong tứ giác và chú ý B ^ = D ^
Cho hình bình hành ABCD. Gọi Ae, CK lần lượt là đường phân giác trong của tam giác ABC và tam giác ACD ( E thuộc BC, K thuộc AD)
1) chứng minh AE // CK
2) chứng minh ba đường thẳng BD, AC, KE đồng quy
3) trong trường hợp góc ABC = 90°,góc BAC = 60°
tứ giác AECK là hình gì vì sao
a) ABCD là hình bình hành
\(\Rightarrow\)AB // CD
\(\Rightarrow\)\(\widehat{BAC}\)= \(\widehat{ACD}\) (slt)
AD là phân giác \(\widehat{BAC}\)\(\Rightarrow\)\(\widehat{DAC}\)= 1/2 \(\widehat{BAC}\)
CK là phân giác \(\widehat{ACD}\)\(\Rightarrow\)\(\widehat{ACK}\)= 1/2 \(\widehat{ACD}\)
suy ra: \(\widehat{DAC}\) = \(\widehat{ACK}\)
mà \(\widehat{DAC}\)và \(\widehat{ACK}\) ở vị trí so le trong
\(\Rightarrow\)AE // CK
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD (1)
\(\Rightarrow\)OA = OC
Xét \(\Delta BAE\)và \(\Delta DCK\)có
\(\widehat{KDC}\)= \(\widehat{EBA}\) (GT)
AB = CD (GT)
\(\widehat{KCD}\)= \(\widehat{EAB}\) (theo phần a)
suy ra \(\Delta BAE\) = \(\Delta DCK\)
\(\Rightarrow\)AE = CK
mà AE // CK
\(\Rightarrow\)AECK là hình bình hành
mà OA = OC
\(\Rightarrow\)AC và EK cắt nhau tại O (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)BD, AC, EK đồng quy
1,Cho hình thang ABCD,2 cạnh đáy AB và CD.2 đường chéo cắt nhau tại O.biết rằng OA=2cm,OC=6cm,OB=4cm.OD?
2,cho hình bình hành ABCD.Cac điểm M,N lần lượt thuộc cạnh AB và CD sao cho AM=CN.Chứng minh
a,AMCN là hình bình hành
b,3 đường thẳng AC,BD,MN đồng quy
3.Cho tứ giác ABCD có AB vuông góc với BD,AC vuông góc với CD.2 đường chéo cắt nhau tại I.chứng minh IA.IC=IB.ID
Cho tam giác ABC, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ tam giác ACD sao cho AD = BC, CD = AB. Chứng minh rằng AB song song với CD và AH vuông góc với AD ( mình mới học hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh thôi, các bạn giải đừng cho tam giác cân, tam giác vuông hay các trường hợp bằng nhau khác của tam giác vào bài giải, thanks)
Hai tam giác vuông ABC (vuông tại đỉnh A) và A’B’C’ (vuông tại đỉnh A’) có các cặp cạnh góc vuông bằng nhau: AB = A'B', AC = A'C' (H.4.45). Dựa vào trường hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh của hai tam giác, hãy giải thích vì sao hai tam giác vuông ABC và ABC bằng nhau.
Xét 2 tam giác ABC và A’B’C có:
AB=A’B’ (gt)
\(\widehat A = \widehat {A'}\) (gt)
AC=A’C’ (gt)
\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta A'B'C'\)(c.g.c)
1)Cho hình thang ABCD có góc A = 30 độ, góc C = 120 độ. Tính góc B, góc D trong các trường hợp sau:
a) TH1: AB//CD
b)TH2: AD//BC
2)Cho tứ giác ABCD có DB là tia phân giác của góc D. DC=CB. Cm tứ giác ABCD là hình thang
3) Cho tam giác ABC cân tại A. BD, CE là các đường cao. Cm:
a) BE=CD
BD=CE
b) AD=AE
c) tứ giác BEDC là hình thang
M.n giúp mình làm 3 bài này vs ạ :)) Mình c.ơn :)))
b1 a) goi I la giao diem cua AD va BC
vi AB//DC => goc IDC = goc DAB (2 goc dong vi)
ma goc A =30 => goc IDC =30
lai co goc IDC + goc ADC =180 ( I,D,A thang hang)
30+ goc ADC =180 => goc ADC=150
vi AB//DC => goc ICD = goc CBA (2 goc dong vi)
có goc ICD+ goc DCB =180 (I,C,B thang hang )
goc ICD+ 120=180 => goc ICD = 60 => goc ABC=60
còn ý b) bạn làm tương tự nhé
b2
vi DC =BC (gt) => tam giac DCB can tai C => goc CDB = goc DBC (1)
vi DB la phan giac cua goc ADC => g ADB =g BDC (2)
tu (1,2) => g ADB = g DBC
ma 2 goc nay o vi tri so le trong
=> AD// BC => ABCD la hinh thang
bài 2:
Ta có: DC = BC
=> Góc CDB = góc CBD ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)
Mà góc ADB = góc CDB ( gt)
=> Góc ADB = góc CBD
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong => AB //CD
=> ABCD là hình thang
Bài 3:
a) xét tam giác BEC và tam giác CDB có:
Góc CEB = góc BDC = 90 độ
BC là cạnh chung
Góc B = góc C ( tam giác ABC cân tại A)
=> Tam giác BEC = tam giác CDB ( ch-cgv)
=> BE = DC ( 2 cạnh tương ứng)
=> BD = CE ( 2 cạnh tương ứng )
b) Ta có: AE + EB = AB
AD + DC = AC
Mà EB = DC ( CMT)
AB = AC ( tam giác ABC cân tại A)
=> AE = AD
c) Ta có: AE = AD => tam giác AED cân tại A
=> góc AED = góc ADE = \(\frac{180-A}{2}\)(1)
Ta có tam giác ABC cân tại A
=> góc B = góc C =\(\frac{180-A}{2}\) (2)
Từ (1) và(2) => góc AED = góc B
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị=> ED//BC=> BEDC là hình thang
Cho tứ giác lồi ABCD có các đường chéo \(AC = x,BD = y\) và góc giữa AC và BD bằng \(\alpha .\) Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD.
a) Chứng minh \(S = \frac{1}{2}xy.\sin \alpha \)
b) Nêu kết quả trong trường hợp \(AC \bot BD.\)
Tham khảo:
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
a) Áp dụng công thức \(S = \frac{1}{2}ac.\sin B\), ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{OAD}} = \frac{1}{2}.OA.OD.\sin \alpha ;\quad {S_{OBC}} = \frac{1}{2}.OB.OC.\sin \alpha ;\\{S_{OAB}} = \frac{1}{2}.OA.OB.\sin ({180^o} - \alpha );\quad {S_{OCD}} = \frac{1}{2}.OD.OC.\sin ({180^o} - \alpha ).\end{array}\)
Mà \(\sin ({180^o} - \alpha ) = \sin \alpha \)
\( \Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{1}{2}.OA.OB.\sin \alpha ;\quad {S_{OCD}} = \frac{1}{2}.OD.OC.\sin \alpha .\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{ABCD}} = \left( {{S_{OAD}} + {S_{OAB}}} \right) + \left( {{S_{OBC}} + {S_{OCD}}} \right)\\ = \frac{1}{2}.OA.\sin \alpha .(OD + OB) + \frac{1}{2}.OC.\sin \alpha .(OB + OD)\\ = \frac{1}{2}.OA.\sin \alpha .BD + \frac{1}{2}.OC.\sin \alpha .BD\\ = \frac{1}{2}.BD.\sin \alpha .(OA + OC)\\ = \frac{1}{2}.AC.BD.\sin \alpha = \frac{1}{2}.x.y.\sin \alpha .\end{array}\)
b) Nếu \(AC \bot BD\) thì \(\alpha = {90^o} \Rightarrow \sin \alpha = 1.\)
\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{1}{2}.x.y.1 = \frac{1}{2}.x.y.\)
